The average age of 12 children is 15 years. If another child comes the average age comes to 13. what is the age of the new child?

অনেক বড় বা অনেক ছোট সংখ্যা বা রাশিকে সূচকের সাহায্যে লিখে অতি সহজে প্রকাশ করা যায় । ফলে হিসাব গণনা ও গাণিতিক সমস্যা সমাধান সহজতর হয়। তাছাড়া সূচকের মাধ্যমেই সংখ্যার বৈজ্ঞানিক বা আদর্শ রূপ প্রকাশ করা হয়। তাই প্রত্যেক শিক্ষার্থীর সূচকের ধারণা ও এর প্রয়োগ সম্পর্কে জ্ঞান থাকা আবশ্যক।

সূচক ও ভিত্তি সংবলিত রাশিকে সূচকীয় রাশি বলা হয়।

a যেকোনো বাস্তব সংখা এবং n যেকোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হলে, n সংখ্যক a এর ক্রমিক গুণ হলো $a^n$ । অর্থাৎ, a × a × a × ... × a (n সংখ্যক বার a) = $a^n$ । এখানে, n হলো সূচক বা ঘাত এবং a হলো ভিত্তি। আবার, বিপরীতক্রমে $a^n$ = a × a × a × a (n সংখ্যক বার a)।

সূচক শুধু ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাই নয়, ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা বা ধনাত্মক ভগ্নাংশ বা ঋণাত্মক ভগ্নাংশও হতে পারে। অর্থাৎ, ভিত্তি a ∈ R (বাস্তব সংখ্যার সেট) এবং সূচক n ∈ Q (মুলদ সংখ্যার সেট) এর জন্য $a^n$ সংজ্ঞায়িত। বিশেষ ক্ষেত্রে, n ∈ N (স্বাভাবিক সংখ্যার সেট) ধরা হয়। তাছাড়া অমূলদ সূচকও হতে পারে। তবে সেটা মাধ্যমিক স্তরের পাঠ্যসূচি বহির্ভূত বলে এখানে আর আলোচনা করা হয় নি।

সূচকের সূত্রাবলি (Index Laws)

ধরি, a ∈ R (বাস্তব সংখ্যার সেট) এবং m, n ∈ N (স্বাভাবিক সংখ্যার সেট)।

সূত্র ১ (গুণ). $a^m\times a^n=a^{m+n}$

সূত্র ২ (ভাগ).

সূত্র ৩ (গুণফলের ঘাত). ${\left(ab\right)}^n = a^n\times b^n$

সূত্র ৪ (ভাগফলের ঘাত). ${\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\frac{a^n}{b^n}, \left(b\ne 0\right)$

সূত্র ৫ (ঘাতের ঘাত). ${\left(a^m\right)}^n=a^{mn}$

শূন্য ও ঋণাত্মক সূচক (Zero and Negative Indices)

সূচকে সূত্রাবলির প্রয়োগ ক্ষেত্র সকল পূর্ণসংখ্যা সম্প্রসারণের লক্ষে $a^0$ এবং $a^{-n}$ (যেখানে n স্বাভাবিক সংখ্যা) এর সংজ্ঞা দেয়া প্রয়োজন।

সংজ্ঞা ১ (শূন্য সূচক). $a^0=1, (a\ne 0)$

সংজ্ঞা ২ (ঋণাত্মক সূচক). $a^{-n}=\frac{1}{a^n}, \left(a\ne 0, n\in N\right)$

এই সংজ্ঞা দুইটির ফলে সূচক বিধি m এবং n এর সকল পূর্ণসাংখ্যিক মানের জন্য বলবৎ থাকে এবং এরূপ সকল সূচকের জন্য $\frac{a^m}{a^n}=a^{mn}$ খাটে।

লক্ষ কর, $\frac{a^n}{a^n}=a^{n-n}=a^0.$

উদাহরণ ১. মান নির্ণয় কর : ক) $\frac{5^3}{5^3}$ খ) ${\left(\frac{2}{3}\right)}^5\times {\left(\frac{2}{3}\right)}^{-5}$

সমাধান :

উদাহরণ ২. সরল কর : ক) $\frac{5^4\times 8\times 16}{2^5\times 125}$ খ) $\frac{3.2^n-4.2^{n-2}}{2^n-2^{n-1}}$

সমাধান :

উদাহরণ ৩. দেখাও যে, $(a^p{)}^{q-r}.(a^q{)}^{r-p}.(a^r{)}^{p-q}=1$

সমাধান :

n তম মূল (n th Root)

2,4,8,16 ইত্যাদি সংখ্যার মৌলিক উৎপাদক বের করে পাই,

2 = 2,2 আছে 1 বার
4=2$\times$2,2 গুণ আকারে আছে 2 বার
8=2$\times$2$\times$2,2 গুণ আকারে আছে 3 বার
16=2$\times$2$\times$2$\times$2,2 গুণ আকারে আছে 4 বার

কোনো রাশিতে একই উৎপাদক যতবার গুণ আকারে থাকে, সেই সংখ্যাকে উৎপাদকটির সূচক এবং উৎপাদকটিকে ভিত্তি বলা হয়।

লক্ষণীয় যে, 2 এর মধ্যে 2 উৎপাদকটি একবার আছে, এখানে সূচক 1 এবং ভিত্তি 2। 4 এর মধ্যে 2 উৎপাদকটি 2 বার আছে। কাজেই সূচক 2 এবং ভিত্তি 2। আবার, ৪ এবং 16 এর মধ্যে 2 উৎপাদকটি যথাক্রমে 3 বার এবং 4 বার আছে। সেজন্য ৪ এর সূচক 3 ও ভিত্তি 2 এবং 16 এর সূচক 4 ও ভিত্তি 2

ঘাত বা শক্তি

এ একটি বীজগণিতীয় রাশি। একে এ দ্বারা এক বার, দুই বার, তিন বার গুণ করলে হবে:

$a\times a=a^2$ যেখানে a² কে a এর দ্বিতীয় ঘাত বলে এবং a² কে পড়া হয় এ এর বর্গ

$a\times a\times a=a^3$ যেখানে a³ কে a এর তৃতীয় ঘাত বলে এবং a³ কে পড়া হয় এ এর ঘন

$a\times a\times a\times a=a^4$ যেখানে a⁴ কে a এর চতুর্থ ঘাত বলে, ইত্যাদি।

অনুরূপভাবে, এ কে যদি n বার গুণ করা হয় তবে আমরা পাই $a \times a\times a\times$ ________ $\times a$(n বার) = aⁿ। এখানে aⁿ কে a এর ॥ তম ঘাত বা শক্তি বলে এবং n হবে ঘাতের সূচক ও a হবে ভিত্তি। সুতরাং a² এর ক্ষেত্রে a এর ঘাত বা সূচক 2 ও ভিত্তি a; a³ এর ক্ষেত্রে ৫ এর ঘাত বা সূচক 3 ও ভিত্তি a, ইত্যাদি।

সংখ্যার ক্ষেত্রে সূচক থেকে আমরা একটি সূচকমুক্ত ফলাফল পাই, কিন্তু অক্ষরের ক্ষেত্রে সূচক থেকে ফলাফল সূচক আকারেই থাকে।

উদাহরণস্বরূপ,

$2^3+3^2=2\times 2\times 2+3\times 3=8+9=17$

$a^4+2^4=a\times a\times a\times a+2\times 2\times 2\times 2\times 2=a^4+16$

উদাহরণ ৮। সরল কর:

$$\begin{gathered} \left(i\right) a x a^2 \\ \left(ii\right) a^3 x a^2 \\ \left(iii\right) a x a^3 \end{gathered}$$

সমাধান:

$$\begin{gathered} \left(i\right)a\times a^2=a\times a\times a=a^3 \\ \left(ii\right)a^3\times a^2=(a\times a\times a)(a\times a)=a\times a\times a\times a\times a\times a\times a=a^5 \\ \left(iii\right)a^4\times a^3=(a\times a\times a\times a)(a\times a\times a)=a\times a\times a\times a\times a\times a\times a\times a=a^7 \end{gathered}$$

লক্ষ করি:

$$\begin{gathered} a\times a^2=a^1\times a^2=a^3=a^{1+2} \\ {a}^3\times a^2=a^5=a^{3+2} \\ {a}^4\times a^3=a^7=a^{4+3} \end{gathered}$$

সুতরাং, আমরা লিখতে পারি, $\boxed{a^m \times a^n = a^{m+n}}$m ও n স্বাভাবিক সংখ্যা। গুণনের এই প্রক্রিয়াকে বলা হয় সূচকের গুণনবিধি।

কোনো সংখ্যার ঘাত বা শক্তি 1 হলে, সংখ্যাটির সূচক 1 লেখা হয় না। যেমন, $a=a^1,x=x^1$ ইত্যাদি।

উদাহরণ ৯। গুণ কর:

$$\begin{gathered} \left(i\right) a^4\times a^5 \\ \left(ii\right) x^3 \times x^8 \\ \left(iii\right) x^5 \times x^9 \end{gathered}$$

সমাধান:

$$\begin{gathered} \left(i\right)a^4\times a^5=a^{4+5}=a^9 \\ \left(ii\right)x^3\times x^8=x^{3+8}=x^{11} \\ \left(iii\right)x^5\times x^9=x^{5+9}=x^{14} \end{gathered}$$

উদাহরণ ১০। সরল কর:

$$\begin{gathered} \left(i\right) 2a\times 3b^2 \times 4c \times 6a^{2 }\times 5b^3 \\ \left(ii\right) a\times a\times a\times b\times c\times b\times c\times a\times c\times b. \end{gathered}$$

সমাধান:

$$\begin{gathered} \left(i\right) 2a\times 3b^2\times 4c\times 6a^2\times 5b^3 \\ =(2a\times 6a^2)\times (3b^2\times 5b^3)\times 4c \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} =\left(2\times 6\times a^{1+2}\right) \times \left(3\times 5\times b^{2+3}\right) \times 4c \\ =12a^3\times 15b^{5 }\times 4c \\ =(12\times 15\times 4)a^3{b}^{5}c \\ =720a^3{b}^{5}c. \end{gathered}$$

(ii)

$$\begin{gathered} a\times a\times a\times b\times c\times b\times c\times a\times c\times b \\ =(a\times a\times ax\times a) \times (b\times b\times b) \times (c\times c\times c) \\ = a^4{b}^3{c}^3. \end{gathered}$$

উদাহরণ ১১ । a = 1 , b = 2 , c = 3 হলে, নিচের রাশিগুলোর মান নির্ণয় কর:

$$\begin{gathered} \left(i\right)a^2+b^2+c^2 \\ \left(ii\right) a^2 + 2ab-c \end{gathered}$$

সমাধান:

$$\begin{gathered} \left(i\right)a^2+b^2+c^2 \\ =1^2+2^2+3^2=1+2\times 2+3\times 3 \\ = 1 + 4 + 9 = 14 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \left(ii\right) a^2+2ab-c \\ =1^2+2.1.2-3 \\ =1+4-3 \\ =5-3-2. \end{gathered}$$